「続・続・続・続・続・続・続・算数よもやまばなし」

前回の文末に会った問題です。

次の等比数列（３倍の数列）の和を求めてください。

１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３

まず　Ａ＝１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３　とします。

Ａの３倍を考えます。Ａの３倍とはそれぞれに３をかけることになりますから、

Ａ×３＝（１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３）×３

＝３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３＋３８７４２０４８９　です。

この式と元の式を比べてみると、　

３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３　の部分が共通ですね。

わかりやすくするために

３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３＝Ｂ　とすると、

Ａ＝１＋Ｂ　Ａ×３＝Ａ＋Ａ＋Ａ＝Ｂ＋３８７４２０４８９　

この２つを比べると、

Ａ＋Ａ＝３８７４２０４８８　なので、Ａ＝３８７４２０４８８÷２＝１９３７１０２４４

正解は　１９３７１０２４４　でした。

こうしたアプローチの方法は、算数や数学で必要になりますから、ぜひ覚えておきましょう。

算数では「パスカルの三角形」と呼ばれるピラミッド型の数列が有名です。

１

１　　　１

１  　　２　　   １

１   　 ３　　　３  　 　１

１　    ４　     ６　      ４       １

１　    ５　    10　    10　     ５  　   １

１　    ６　    15　    20　    15　     ６  　  １

１　    ７　    21　    35　   35　     21　    ７ 　   １

１　    ８　    28　   56    　70    　56   　 28　    ８    　１

１　    ９　    36　   84      126　 126       84 　  36　   ９  　  １

それぞれの列の和を１列目から１０列目まで合計してみると、

１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２

なので今回のアプローチを利用すると、

１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＝Ａ

Ａ×２＝２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＋１０２４

Ａ＋Ａ＋１＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＋１０２４

Ａ＋Ａ＋１－Ａ＝１０２４

Ａ＝１０２４－１＝１０２３

と簡単に計算ができます。