浅野中 2019年算数入試問題より 平方数の和 立方数の和

2019/12/9

エクタス算数科

2019年の浅野中学の入試問題に面白い問題があります。

1×1+2×2+3×3+……+19×19+20×20 を求める問題です。
いわゆる平方数の和の問題ですね。
本来は高校数学で習う問題ですが、正三角形の紙を用いて小学生でも十分に理解できる
ような問題になっています。浅野中学のほかにもいくつかの中学で同じような問題が
出題されていますからその内容は省略しますが、結果的には、1×1からN×Nまでの和は、
(1+N)×N×(1+N×2)÷6ということになるのです。
どのように説明することができるのでしょうか。考えてみましょう。

それでは1+8+27+64+125…………という、1×1×1からN×N×Nまでの和は
どうなるのでしょうか。これも実は非常に簡単な式になります。
1=1=1×1
1+8=9=3×3
1+8+27=36=6×6
1+8+27+64=100=10×10
何か気づくでしょうか。そう、1×1×1からN×N×Nまでの和はN番目の三角数の平方に
なっていますね。これも正方形にL字型の形を書き加えて正方形を作っていく面積の図で説明
することが可能です。こちらもぜひ考えてみましょう。

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