算数のおはなし　その２

こんにちは。大宮校の宮下です。
今回も前回に引き続き、算数のアプローチについて考察してみます。

例① 　３７㎞を１１．１分で進むとき，２４分で何㎞進みますか。

速さを求めると、３７÷１１．１×６０＝２００より時速２００㎞。
この速さで２４分進むと、２００×２４÷６０＝８０㎞になる。
というのが一般的な解き方ですが、面白みもなく計算も面倒です。
同じ速さであれば割合や比は等しいはずです。

この問題を図式化してみると、　　
　１１．１分　→　３７㎞
　２４分　　　→　　　　㎞
３７×３＝１１１　より、時間を１０倍して３で割ると道のりになることがわかるので、
２４×１０÷３＝８０（㎞）と同じ答えを暗算で出すことができました。
８０㎞という答えを出すのに、面倒な計算を回避できるのです。これが算数の醍醐味です。数学と根本的なとらえ方が違います。直線的に解くのではなく、面の広がりを持たせることで、結果的に答えに短距離で向かうことができるのです。ゴリゴリ計算もしていないので、いわゆる計算ミスの予防にもなります。
ちなみに、前出の　３７×３＝１１１　は受験生の常識です。
このほかにも、７×１１×１３＝１００１　　７３×１３７＝１０００１　は必須です。
更に発展させたものとして、１１×１０１＝１１１１　　３×７×１１×１３×３７＝１１１１１１　
１１×７３×１０１×１３７＝１１１１１１１１　　などもあります。

例② 　１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，５５，…　の８９番目と９０番目の和はいくつですか。

三角数という階差数列の問題です。　
たとえば９番目は、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝（１＋９）×９÷２＝４５で、
１０番目は、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝（１＋１０）×１０÷２＝５５です。

８９番目は（１＋８９）×８９÷２＝４００５、９０番目は（１＋９０）×９０÷２＝４０９５なので、
４００５＋４０９５＝８１００　というのが一般的な解き方です。
ですが、この三角数には興味深い性質があるので、それを利用するととてもエレガントに解くことができます。
９番目と１０番目の和は、４５＋５５＝１００　になりますね。実はこの１００は、１０番目の１０の平方数になっているのです。
ですから８９番目と９０番目の和は、９０×９０＝８１００　になります。
また、８９番目と９０番目の差は９０ですから、このことを利用すると、８９番目と９０番目を簡単に求めることができます。
　９０÷２＝４５　
　９０×９０＝８１００　　８１００÷２＝４０５０
となるので、
　８９番目…４０５０－４５＝４００５
　９０番目…４０５０＋４５＝４０９５
等差数列の和の公式でゴリゴリ計算して解くよりもスマートになりましたね。
ちなみに、三角数は、１から始まる整数の和として式を立てますが、このことを利用して式を作ると、Ｎ番目の三角数＝(Ｎ×Ｎ＋Ｎ)÷２　というとてもシンプルな形になります。

この三角数にはほかにもこんな性質があります。

連続する三角数の平方の差は、同順の立方数になっています。
例えば、三角数の９番目の平方数と１０番目の平方数はそれぞれ４５×４５＝２０２５と５５×５５＝３０２５ですが、その差は３０２５－２０２５＝１０００で、これは１０×１０×１０＝１０００と同じです。
この法則はどの２つにも当てはまります。

考察の結論ですが、【当たり前と思って、使っているその式は本当に最善の手法なのか】、【まだまだ自分の知らないアプローチの仕方があるのではないか】、という問いかけを常にしていくことができれば、筑駒・御三家・駒東に近づくことができるのではないでしょうか。