２だけを何回かかけ合わせた積をまとめて２の冪(べき)といいます。
１、２、４、８、１６、３２、６４……などです。中学受験生であれば、２を２回かけることを「２の２乗（２２と書きます）」ということも知っておいていいと思います。「２の５乗は３２」という言い方になりますね。また２の１０乗は１０２４です。これは、おぼえておくべき知識であるといえるでしょう。
さて今回はこのような２の冪についていくつかクイズを解いてみてください。
問題１．１＋２＋４＋８＋……＋１０２４はいくつ？
これは２０４７です。１から２の１０乗までをたした和は、２の１１乗から１をひいた数になります。これもおぼえておくと便利な知識ですが、解き方もしっかり理解しておきましょう。
①＝１＋２＋４＋８＋……＋１０２４します。この式を２倍すると
②＝ ２＋４＋８＋……＋１０２４＋２０４８ となりますね。
下の式から上の式をひくと、
①＝２０４８－１ になるというわけです。
ちなみに２の冪から１をひいた数をメルセンヌ数といいます。
ハノイの塔というパズルで段の数をＮとしたときの最少移動回数もメルセンヌ数であることが知られています。
問題２．連続する整数の和であらわすことができない数を小さい順に６つかけ。
この答えは１、２、４、８、１６、３２ となります。
３より大きい奇数はすべて連続する２つの整数の和で表すことができます。
さらに１以外の奇数の約数がある偶数も、連続する整数の和で表すことができます。
６＝１＋２＋３、１０＝１＋２＋３＋４、１２＝３＋４＋５ といった具合です。
すなわち、１以外に奇数の約数がない、２の冪である数は連続する整数の和で表すことはできません。この手の問題も過去に入試に出されたこともありますから知っておいて損はありません。
問題３．各位がすべてことなるような２の冪のうち、最も大きい数は？
これは２の２９乗で５３６８７０９１２（５億３６８７万９１２）となります。
この問題は２倍、２倍をくりかえして計算していくしかありません。数は０～９までの１０種類しかありませんので、最も大きな数といってもせいぜい１０けたであることがわかります。１０けたになるまで計算するしかありません。ただ単に２倍していくだけですからぜひ試してみてください。
ちなみに０～９までの１０種類の数がすべて含まれている最小の数は２の６８乗で
２９５１４７９０５１７９３５２８２５８５６
（２垓９５１４京７９０５兆１７９３億５２８２万５８５６）
だそうです。
２の冪についてはまだまだいろいろと面白い性質があります。いろいろと調べてみましょう。
