整数2017について②

2016/7/20

エクタス算数科

今回は,1週間前にあげた問題の解答編です(1週間前の記事は「整数2017について①」です)。
まず,問題を再掲します。

ある数を,連続する整数の和で表すことを考えます。例えば,15は4+5+6,1+2+3+4+5,7+8という3通りの表し方があります。
(1)2017には1通りの表し方があります。それを書きなさい。
(2)2017は素数であり,3以上の素数の表し方はみな1通りです。その理由を説明しなさい(長くなっても構いません)。

入試予想問題というよりは,素数について考えを深めておくことが目的でした。では,解答を載せます。

(1)1008+1009

(2)※解答例※まず,3以上の素数を奇数個の連続する整数の和で表すことはできない。15=4+5+6の場合,連続する整数の真ん中の数5に個数の3をかけると15になるように,真ん中の数×個数=もとの数が成り立つが,素数をこのような積の形で表すことはできない。

次に,2個の連続する整数の和で表すことはできる。3以上の素数は全て奇数であるから,2で割ると□.5となる。□.5×2=2×□+1=□+(□+1)より,□と□+1の和で表すことができる。

最後に,4以上の偶数個の連続する整数の和で表すことはできない。14=2+3+4+5の場合,連続する整数の平均3.5がちょうど4つの整数の真ん中の数となるように,真ん中の数□.5×個数=もとの数となる。4以上の偶数は2×△(※△は1より大きい整数)で表せるので,もとの数=□.5×個数=□.5×2×△となるが,□.5×2は整数なので,□.5×2と△がもとの数の約数となってしまう。これは,もとの数が素数であるという条件にあわない。

よって,3以上の素数はみな,2個の連続する整数の和でのみ表すことができる。


いかがでしょう。素数とは大まかに言えば「余計な約数を一切持たない数」です。そのために,素因数分解に表されるように,他の整数の「素材」として用いられることが多いのですが,素数自身にもいろいろと興味を引く側面があります。この夏,お子様と一緒にいろいろと調べてみるのも面白いかもしれませんね。

関連記事related posts

エクタス算数科

立方体の展開図

このブログが公開されるのはゴールデンウイークが開けた頃ですが、皆さんは学習のリズムを崩さずに頑張れているでしょうか。いつもは『忙しくて宿題がきちんと全部できない!』なんて言っていたこともあるかもしれませんが、だからといっ…

エクタス池袋校教室ニュースエクタス算数科

算数の復習タイミングと内容について

こんにちは、池袋校の荒井です。エクタスの塾生は大変優秀で、本当によく努力していると思います。それでも、学習方法を工夫すればさらに伸びる生徒がいると感じます。がむしゃらに努力する心意気は大切ですが、より戦略的な行動も必要と…

エクタス大宮校教室ニュースエクタス算数科

算数よもやまばなし

こんにちは。大宮校の宮下です。 今回は、前回の『六十三減算』に引き続き、これをさらに進化させた『百五減算』を紹介します。 西暦1743年に出版された【勘者御伽雙紙】は、上中下の3巻からなる算数や数学の問題とその解説を載せ…

新着記事latest posts

no image

2021/10/18

エクタス算数科

「2022問題」対策について

毎年、西暦の数字にまつわる問題はよく出題されます。来年は2022年ですから、2022にまつわる問題が出題されることは予想できます。これを「2022問題」と呼ぶことにします。この対策として次の問題を考えてみましょう。 【問…

エクタス算数科

no image

2021/10/13

エクタス国語科より

筑駒・男女御三家・駒東合格へのあと100日の国語学習法

10月24日で、2月1日まであと100日となります。これは毎年共通の残り日数、残り時間です。受験生は大体週に最低4日は塾の授業に参加していると思うので、100に7分の4を掛けて100から引くと、塾の授業がない日が出ます。…

エクタス国語科より

no image

2021/10/13

エクタス理科より

ノーベル物理学賞を日本出身者が受賞

暑さが一段落して少しずつ涼しくなってきていますね。受験生のみなさん、気温の変化に気をつけて勉強に励んで下さい。 さて、先日2021年のノーベル賞受賞者が発表され、日本出身の眞鍋淑郎氏がノーベル物理学賞を受賞しました。受賞…

エクタス理科より

pagetop