前回の文末に会った問題です。
次の等比数列（３倍の数列）の和を求めてください。
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３
まず Ａ＝１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３ とします。
Ａの３倍を考えます。Ａの３倍とはそれぞれに３をかけることになりますから、
Ａ×３＝（１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３）×３
＝３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３＋３８７４２０４８９ です。
この式と元の式を比べてみると、
３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３ の部分が共通ですね。
わかりやすくするために
３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋２１８７＋６５６１＋…＋４３０４６７２１＋１２９１４０１６３＝Ｂ とすると、
Ａ＝１＋Ｂ Ａ×３＝Ａ＋Ａ＋Ａ＝Ｂ＋３８７４２０４８９
この２つを比べると、
Ａ＋Ａ＝３８７４２０４８８ なので、Ａ＝３８７４２０４８８÷２＝１９３７１０２４４
正解は １９３７１０２４４ でした。
こうしたアプローチの方法は、算数や数学で必要になりますから、ぜひ覚えておきましょう。
算数では「パスカルの三角形」と呼ばれるピラミッド型の数列が有名です。
１
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
１ ６ 15 20 15 ６ １
１ ７ 21 35 35 21 ７ １
１ ８ 28 56 70 56 28 ８ １
１ ９ 36 84 126 126 84 36 ９ １
それぞれの列の和を１列目から１０列目まで合計してみると、
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２
なので今回のアプローチを利用すると、
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＝Ａ
Ａ×２＝２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＋１０２４
Ａ＋Ａ＋１＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＋１０２４
Ａ＋Ａ＋１－Ａ＝１０２４
Ａ＝１０２４－１＝１０２３
と簡単に計算ができます。