毎年、西暦の数字にまつわる問題はよく出題されます。来年は２０２２年ですから、２０２２にまつわる問題が出題されることは予想できます。これを「２０２２問題」と呼ぶことにします。この対策として次の問題を考えてみましょう。
【問題】
０から９までの１けたの数字10個から、異なる２個の数字を選びます。その２個の数字をどちらも１回以上使って４個を並べた数を作ります。ただし０を使うときは、たとえば００３０は３０、０１０１は１０１と考えることとします。（２０２０桜蔭中 改題）
① このようにしてできる数は全部で何個ありますか。
② ２０２０は小さい方から数えて何番目の数ですか。
【解説】
① 場合の数の解法は基本的には、いくつかの場合（パターン）に分けてそれぞれ何通りあるかを考え、最後に足し合わせるというものになります。
まず、選ぶ２個の数字が０と１の場合を考えます。０と１だけで４けたの数を作る訳ですから、すべて書き上げると、０００１、００１０、００１１、０１００、０１０１、０１１０、０１１１、１０００、１００１、１０１０、１０１１、１１００、１１０１、１１１０の１４通りになります。
また、書き上げるのではなく計算でも答えを出すことはできます。各位に０か１を使うので、２×２×２×２＝１６通りですが、００００と１１１１は除くので、１６－２＝１４通りですね。
次に１０個の数字の中から２個の数字を選ぶ選び方ですが、これは１０×９÷（２×１）＝４５通りと計算する方法が知られています。ですから全部で１４×４５＝６３０通りが答えとなります。
② こちらでは数の大きさを考えなければなりませんから、
Ａ ０００１～０９９９、Ｂ １０００～１９９９、Ｃ２０００～２０２０までの３つの場合に分けてそれぞれ何通りあるのかを考えることになります。
Ａ 千の位は０ですから、選ぶ数字は０と１～９のいずれかです。０と１の場合、①で書き上げたように７通りです（２×２×２－１と計算してもＯＫ）から、７×９＝６３通りです。
Ｂ 千の位は１ですから、選ぶ数字は１と０、２～９のいずれかです。１と０の場合、やはり７通りですから、こちらも７×９＝６３通りとなります。
Ｃ ２と０を使うことになりますから、２０００、２００２、２０２０の３通りです。
よって２０２０は６３＋６３＋３＝１２９番目ということになります。
場合の数は、このようにいくつかの場合を分けることがまずは大事です。そして、最終的に誤答をしてしまったとしても、それぞれの場合で何通りかが正解しており、それがわかりやすく記されていれば途中点がもらいやすくなります。（ただし、この桜蔭の問題は答案用紙に途中式や考え方を書く欄はありません。けれどもていねいに書いておけばミスは減ります）
なぜこの問題を紹介したのかと言うと、実はこの問題はそのまま２０２２に使えるからです。つまり、「２０２２は小さい方から数えて何番目ですか 答え １３０番目」ということですね。このように、「２０２２」問題の対策としては、２０２０年の過去問をピックアップしていくというのも１つの手ではないでしょうか。
