「おもしろい整数」に挑戦:解答編

2016/12/21

エクタス厳選例題

1週間前にあげた問題の解答編です。まずは,問題を再掲します。

2015のように各位の数字がすべて異なる整数を「おもしろい整数」とします。(駒場東邦中・改題)

(1)「おもしろい整数」ではない3けたの整数が最も長く連続するのは,(ア)から(イ)の(ウ)個です。ア,イ,ウにあてはまる整数を答えなさい。

(2)「おもしろい整数」ではない4けたの整数が最も長く連続するのは,(エ)から(オ)の(カ)個です。エ,オ,カにあてはまる整数を答えなさい。

(3)「おもしろい整数」ではない5けたの整数が最も長く連続するのは,(キ)から(ク)の(ケ)個です。キ,ク,ケにあてはまる整数を答えなさい。





3けたの整数から設問は始まっていますが,2けたの整数から順に見ていきましょう。(1けたの整数の場合,「おもしろい整数」「おもしろくない整数」の区別がつきません)

(0)2けたの場合
 11,22,33,…,99といったぞろ目の整数だけが,「おもしろくない整数」です。一応ここでは,99を代表にしておきましょう。つまり,99から99までの1個

(1)3けたの場合
 十の位と百の位が同じ数である場合を考えてみます。11☆のばあい,☆に入る数は0から9までの10個ですから,「おもしろくない整数」は10個続くことになります。11☆~88☆の場合それは変わりませんが,99☆の場合は,990~999に加えて,990の手前の989,988も「おもしろくない整数」になります。よって,999-987=12(個)「おもしろくない整数」が連続します。
答えは,988から999の12個

(2)4けたの場合
 百の位と千の位が同じ数である場合を考えてみます。11☆★のばあい,1100~1199の100個に加えて,1099,1200,1201,1202の4個が「おもしろくない整数」なので,104個です。11☆★から88☆★まで調べていくと,あまり個数に違いはありません。99☆★の場合,9900~9999の100個に加えて,9899~9890,9889~9880,9879,9878,9877が「おもしろくない整数」です。よって,9999-9876=123(個)「おもしろくない整数」が連続します。
答えは,9877から9999の123個

(3)5けたの場合
 2けたから4けたの場合の「おもしろくない整数」が連続する個数について振り返ってみると,2けたでは99のみで1個,3けたでは999-987=12(個),4けたでは9999-9876=123(個)となっていました。もうあきらかでしょう。5けたの場合は,99999-98765=1234(個)となります。
答えは,98766から99999までの1234個

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