連続する整数による和分解

2020/7/6

エクタス算数科

問題です。

1から100までの整数のうち、1以上の連続する整数の和で表すことができる整数について考えます。たとえば、3=1+2、6=1+2+3、33=10+11+12のように、3、6、33は連続する整数の和で表すことができます。1から100までの整数のうち、このように連続する整数の和で表すことができる整数は何個ありますか。(平成25年市川・改題)

最近このような連続する整数の和に分解する問題を目にすることが多くなってきました。開成、聖光学院、渋谷幕張などの難関校でも出題されています。

ある整数Xが連続する整数の和で表されるかどうかは、「Xの約数のうち、1以外に奇数の約数があるかどうか」によって決まります。
Xが連続する整数の奇数個の和で表される場合、個数がXの約数になります。例えば、6=1+2+3の場合、個数は3で平均は2です。6の奇数の約数は3ですね。
Xが連続する整数の偶数個で表される場合、平均がXの奇数の約数の半分になります。例えば、10=1+2+3+4のとき、個数は4で、平均は2.5です。10の奇数の約数は5ですから、その半分が平均になっているということです。

よって、1以外の奇数の約数があれば、連続する整数で表すことができるということになります。例えば、63には、1以外の奇数の約数が3、7、9、21とありますね。
63=20+21+22(個数が3個)
63=6+7+8+9+10+11+12(個数が7個)
63=3+4+5+6+7+8+9+10+11(個数が9個)
63=9+10+11+12(平均が21の半分である10.5)
このように63は4通りの連続する整数の和で表すことができるのです。

つまり1以外の奇数の約数の個数だけ連続する整数の和で表す表し方があり、連続する整数の和で表せないということは、1以外の奇数の約数がない、ということになります。
よって、1から100までで、1以外の奇数の約数がない数は、1、2、4、8、16、32、64の7個ですから、はじめの問題の答は93個となります。

関連記事related posts

エクタス算数科

真実はいつも1つ?

 みなさんは、『おばけ煙突』を知っていますか?  かつて東京都足立区にあった、火力発電所(千住火力発電所)の煙突のことで、近隣の住民からそう呼ばれていました。ちょっと昔の話になりますので、おじいさんやおばあさん世代だとご…

エクタス算数科知って得するマメ知識

計算の工夫

  入試まで3ヶ月になってきました。この時期算数において頭の痛いことの1つはケアレスミスです。今回は計算ミスが少なくなるかもしれない計算のちょっとした工夫を紹介します。   1 11と2けたの数のかけ…

エクタス算数科

うそつきパズル

4月1日にちなんで,うそつきパズルの問題を1題用意しました。 正直者は正しい事のみを言い,うそつきは誤ったことのみを言います。A,B,Cの3人が,互いについて次のように言いました。 A「Bはうそつきだ」 B「Cがうそつき…

新着記事latest posts

no image

2020/8/6

エクタス社会

八朔

今年は梅雨が長かったですね。最高気温が30度を超えない日が続き、このまま過ごしやすい夏になるかと思っていたら、梅雨明けしたとたんに一気に気温が上がりました。今年から、環境省と気象庁が共同で「熱中症警戒アラート」を出す試み…

エクタス社会

no image

2020/8/5

エクタスニュース桜蔭中筑駒

「 変わること 変わらないこと 」

新型コロナウィルスの影響で例年と違う状況があちこちで起きていますが、各学校の説明会などの情報を得る場も変化がありそうです。 筑波大学附属駒場中・高等学校のホームページによりますと、今年は10月に予定されていた学校を会場と…

エクタスニュース桜蔭中筑駒

2020/7/29

エクタスニュースお知らせピックアップ

渋谷教育学園幕張中 学校説明会 9月5日開催!

Z会主催 Z会エクタス栄光ゼミナール協賛渋谷教育学園幕張中学校 学校説明会のご案内【参加無料】 来る9月5日(土)に渋谷教育学園幕張中学校の学校説明会を開催いたします。 同校は自調自考をモットーに生徒の成長を促し、進学実…

エクタスニュースお知らせピックアップ

pagetop