(1)1008+1009
(2)※解答例※まず,3以上の素数を奇数個の連続する整数の和で表すことはできない。15=4+5+6の場合,連続する整数の真ん中の数5に個数の3をかけると15になるように,真ん中の数×個数=もとの数が成り立つが,素数をこのような積の形で表すことはできない。
次に,2個の連続する整数の和で表すことはできる。3以上の素数は全て奇数であるから,2で割ると□.5となる。□.5×2=2×□+1=□+(□+1)より,□と□+1の和で表すことができる。
最後に,4以上の偶数個の連続する整数の和で表すことはできない。14=2+3+4+5の場合,連続する整数の平均3.5がちょうど4つの整数の真ん中の数となるように,真ん中の数□.5×個数=もとの数となる。4以上の偶数は2×△(※△は1より大きい整数)で表せるので,もとの数=□.5×個数=□.5×2×△となるが,□.5×2は整数なので,□.5×2と△がもとの数の約数となってしまう。これは,もとの数が素数であるという条件にあわない。
よって,3以上の素数はみな,2個の連続する整数の和でのみ表すことができる。
いかがでしょう。素数とは大まかに言えば「余計な約数を一切持たない数」です。そのために,素因数分解に表されるように,他の整数の「素材」として用いられることが多いのですが,素数自身にもいろいろと興味を引く側面があります。この夏,お子様と一緒にいろいろと調べてみるのも面白いかもしれませんね。