大学入試問題にチャレンジしよう

2019/10/3

エクタス厳選例題

4個の整数1,a,b,cは1<a<b<cを満たしている。
これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると、1+aからb+cまでのすべての整数の値が得られるという。
a ,b,cの値を求めよ。(京都大学・文系)

小学生でも大学入試問題が解ける、という話です。(少し言葉は難しいですが)

ポイントは、1,a,b,cから異なる2個を取り出して和を作ると、
1+a<1+b<1+cかa+b<a+c<b+c
となり、和は5種類か、6種類だということ。これが連続した整数になるという話なので、
まず、bはaより1大きい数だということになりますね。すなわち、b=a+1です。

次に1+c=a+bのとき、和は5種類になりますから、一番大きいb+cと一番小さい1+aの差は4になります。
b+c-(1+a)=a+1+c-(1+a)=4 となり、c=4です。
よって、a=2,b=3になり、確かめてみると確かに3~7までの5種類の数ができます。

次に1+c≠a+bのとき、和は6種類になりますから、一番大きいb+cと一番小さい1+aの差は5になります。
b+c-(1+a)=a+1+c-(1+a)=5 となり、c=5です。
よって、a=2,b=3か、a=3,b=4(bはaより1大きい数なので)となり、それぞれ確かめてみると3~8までと、4~9までの6種類の数ができます。

よって答えは、(a,b,c)=(2,3,4),(2,3,5),(3,4,5)となります。

算数の勉強で培った力は大学入試問題で使えることもあるという話です。

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