小立方体通過の問題 解答編

2017/5/19

エクタス厳選例題

 

1週間前にあげた問題の答え合わせです。


たてに24個立方体を並べたことから,対角線ABは24等分され,1/242/243/24,…,24/24ごとに,たての向きの面を通過します。24/24は頂点Bに対応しています。また,横に36個立方体を並べたことから,対角線ABは36等分され,1/362/363/36,…,36/36ごとに,横の向きの面を通過します。36/36も頂点Bに対応しています。この2つの分数の列において,共通して現れる分数は何でしょうか。それは,約分することで1/122/123/12,…,12/12になる12個の分数です。よって,頂点Bに対応する12/12を含めて,12回対角線ABは2つの方向の面を同時に通過します。対角線ABがちょうど2つの面を同時に通過すると立方体の辺を,ちょうど3つの面を同時に通過すると立方体の頂点を通過します。このように,分数の列の問題として,考えを進めてみましょう。


 


(1)高さの方向にx個積むことで,3つ目の分数の列1/x,2/x,3/x,…,x/xができます。3つの分数列1/242/243/24,…,24/241/362/363/36,…,36/361/x,2/x,3/x,…,x/xにおいて,1/122/123/12,…,12/12がすべてに現れ,かつ,ちょうど2つの分数列に共通して現れる分数がなければ,辺を通過する回数は0回となります。このようなxとして考えられる最も小さい整数は12です。このとき,辺を通過する回数は0回になります。また,xが12×5=6012×7=8412×11132などであっても,辺を通過する回数は0回となります。


(2)2つの分数列1/242/243/24,…,24/241/362/363/36,…,36/36,に現れる分数すべてが現れるような最小のxは,2436の最小公倍数である72です。このとき,1/122/123/12,…,12/12は3つの分数列に現れ,それ以外の分母2436の分数列に現れていた分数は,ちょうど2つの分数列に現れることになるので,(2412)+(3612)=36(回)辺を通過します。


(3)2つの分数列1/242/243/24,…,24/24と,1/362/363/36では,12個の分数が2つの分数列に共通して現れ,(2412)+(3612)=36(個)の分数が1回ずつ現れます。1回ずつ現れている分数をできるだけ2回現れる分数(=辺の通過)にしつつ,2つの分数列にはなかった新しい分数(=面の通過)ができるだけ少ないような数xを探します。


x=72の場合,72-(1236)=24(個)の分母72の分数が重複しないので,面の通過は24回です。


x=24の場合,分母24の分数は全て重複するが,分母36の分数のうち361224(個)が重複しないので,面の通過はやはり24回です。


x=36の場合,分母36の分数は全て重複するが,分母24の分数のうち241212(個)が重複しないので,面の通過は12回です。これが最小となります。


よって,x=36で,面の通過は12回です。


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