１週間前にあげた問題の答え合わせです。
たてに24個立方体を並べたことから，対角線ＡＢは24等分され，1/24，2/24，3/24，…，24/24ごとに，たての向きの面を通過します。24/24は頂点Ｂに対応しています。また，横に36個立方体を並べたことから，対角線ＡＢは36等分され，1/36，2/36，3/36，…，36/36ごとに，横の向きの面を通過します。36/36も頂点Ｂに対応しています。この２つの分数の列において，共通して現れる分数は何でしょうか。それは，約分することで1/12，2/12，3/12，…，12/12になる12個の分数です。よって，頂点Ｂに対応する12/12を含めて，12回対角線ＡＢは２つの方向の面を同時に通過します。対角線ＡＢがちょうど２つの面を同時に通過すると立方体の辺を，ちょうど３つの面を同時に通過すると立方体の頂点を通過します。このように，分数の列の問題として，考えを進めてみましょう。
（１）高さの方向にｘ個積むことで，３つ目の分数の列1/ｘ，2/ｘ，3/ｘ，…，ｘ/ｘができます。３つの分数列1/24，2/24，3/24，…，24/24，1/36，2/36，3/36，…，36/36，1/ｘ，2/ｘ，3/ｘ，…，ｘ/ｘにおいて，1/12，2/12，3/12，…，12/12がすべてに現れ，かつ，ちょうど２つの分数列に共通して現れる分数がなければ，辺を通過する回数は０回となります。このようなｘとして考えられる最も小さい整数は12です。このとき，辺を通過する回数は０回になります。また，ｘが12×５＝60，12×７＝84，12×11＝132などであっても，辺を通過する回数は０回となります。
（２）２つの分数列1/24，2/24，3/24，…，24/24，1/36，2/36，3/36，…，36/36，に現れる分数すべてが現れるような最小のｘは，24と36の最小公倍数である72です。このとき，1/12，2/12，3/12，…，12/12は３つの分数列に現れ，それ以外の分母24と36の分数列に現れていた分数は，ちょうど２つの分数列に現れることになるので，（24－12）＋（36－12）＝36（回）辺を通過します。
（３）２つの分数列1/24，2/24，3/24，…，24/24と，1/36，2/36，3/36では，12個の分数が２つの分数列に共通して現れ，（24－12）＋（36－12）＝36（個）の分数が１回ずつ現れます。１回ずつ現れている分数をできるだけ２回現れる分数（＝辺の通過）にしつつ，２つの分数列にはなかった新しい分数（＝面の通過）ができるだけ少ないような数ｘを探します。
ｘ＝72の場合，72－（12＋36）＝24（個）の分母72の分数が重複しないので，面の通過は24回です。
ｘ＝24の場合，分母24の分数は全て重複するが，分母36の分数のうち36－12＝24（個）が重複しないので，面の通過はやはり24回です。
ｘ＝36の場合，分母36の分数は全て重複するが，分母24の分数のうち24－12＝12（個）が重複しないので，面の通過は12回です。これが最小となります。
よって，ｘ＝36で，面の通過は12回です。
