素数は無限に存在するか

2022/11/14

エクタス算数科

素数とは、「2以上の自然数のうち、約数が1とその数自身の2つしかない数」のことを言います。ですから、1は素数ではありません。1は約数が1つしかありませんよね。

ちなみに「自然数」とは1以上の整数のことです。0は含みません。

素数は2、3、5、7、11、13、……と続いていきますが、素数は無限に存在するのでしょうか。あたりまえのようにも思えますが、この理由を説明してみましょう。

素数が有限であると仮定しましょう。それらすべての素数をかけて積を出します。そしてこの積に1を加えた答えをAとします。Aはどんな素数で割っても割りきれず1余ることになります。ですからAは新たな素数ということになります。素数をすべてかけた積に1をたした数は素数であると言えますね。このようにすべての素数よりも大きな素数見つかってしまいますから、素数が有限だという仮定は間違っており、素数は無限に存在します。

さて上記の説明では誤解をする方がいらっしゃいます。それはどういう誤解なのか、というと、

「この証明は、素数をすべてかけた積に1をたした数は素数であることを証明するものだ」という誤解する方がいらっしゃるのです。

でもこれは間違っていますよね。

たとえば、2×3×5×7×11×13+1=30031ですが、30031=59×509ですから素数ではありません。素数をかけた積に1をたしたからといって素数になるとは言えないのです。

それでは、さきほどの説明は間違っているんじゃないの?と思ってしまうかもしれません。

さきほどの説明では、あくまでも素数が有限個であると仮定された世界であるために、そのすべて有限個の素数をすべてかけた答に1をたすと素数になることが正しくなるのです。

そうは聞いても納得がいかない子どももいるかもしれません。でもそれでよいのです。あいまいでもやもやしてなぜだろうという気持ちこそが大切なのです。

理由を説明する問題が中学入試の算数でも増えてきていますが、ただ解答解説をうのみにするだけでなく、具体的に計算して、ていねいに調べ、自分なりに考えてああでもないこうでもないという時間を作ることができるとよいですね。

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